Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{7 x^{2}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{7 x^{2}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{7 x^{2}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{x (7 x)}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{x (7 x)}{x^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{x (7 x)}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{x (7 x)}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{7 x}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $7 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 7 x$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 7 x$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 7 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{5}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{5 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{5})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{5}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{5}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} (7 x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{5}{x}$ y $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} (7 x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} (7 x)$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} (7 x)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} (7 x)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} (7 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 7 x^{5} x$

Paso 3.4

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 7 (x \cdot x^{5})$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 3.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 7 (x^{1} x^{5})$

Paso 3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 7 x^{1 + 5}$

Paso 3.4.3

Suma $1$ y $5$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 7 x^{6}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 7 x^{6}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 7 x^{6} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{5} y = \int 7 x^{6} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$x^{5} y = 7 \int x^{6} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{5} y = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ como $7 (\frac{1}{7}) x^{7} + C$ .

$x^{5} y = 7 (\frac{1}{7}) x^{7} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{7}$ .

$x^{5} y = \frac{7}{7} x^{7} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{5} y = \frac{7}{7} x^{7} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{5} y = 1 x^{7} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $x^{7}$ por $1$ .

$x^{5} y = x^{7} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{5} y = x^{7} + C$ por $x^{5}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{5} y = x^{7} + C$ por $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{x^{7}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{x^{7}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{7}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x^{5}$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $x^{5}$ de $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{5} x^{2}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{5} x^{2}}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{5} x^{2}}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Paso 8.3.1.2.4

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{5}}$