Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \cos (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \cos (x)$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \cos (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cos (x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cos (x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cos (x)$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cos (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \cos (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \cos (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x \cos (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Paso 7.2

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Paso 7.3

Reescribe $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ como $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$