Cálculo Ejemplos

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $(2 x y + x^{2}) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + 3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (2 x y + x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Paso 3.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Paso 3.8.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x - 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $- (2 x y + x^{2})$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye $- (2 x y + x^{2})$ por $N$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.5

Suma $6 y$ y $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.6

Factoriza $4$ de $4 x + 8 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.6.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.6.2

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.2.6.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x$ de $2 x y + x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $x + 2 y$ y $2 y + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Reordena los términos.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{- x}$

Paso 5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Simplifica $- 4 \ln (| x |)$ al mover $- 4$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $2 x y + 3 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $2 x y + 3 y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 7.3

Factoriza $y$ de $2 x y + 3 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 7.3.2

Factoriza $y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 7.3.3

Factoriza $y$ de $y (2 x) + y (3 y)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $- (2 x y + x^{2})$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $- 2 x y - x^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.8

Factoriza $x$ de $- 2 x y - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.8.1

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.8.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.8.3

Factoriza $x$ de $x (- 2 y) + x (- x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Paso 7.9

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.9.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Paso 7.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Paso 7.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - (x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.13

Reescribe $- (2 y + x)$ como $- 1 (2 y + x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Paso 9.2

Dado que $\frac{1}{x^{3}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{x^{3}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Paso 9.4

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Paso 9.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Paso 9.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Paso 9.7

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Paso 9.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Paso 9.9

Simplifica.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ y $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.7

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.10

Multiplica $y$ por $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.11

Suma $0$ y $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.12

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.13

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.13.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.14

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.15

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.15.1

Mueve $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.15.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.15.3

Resta $6$ de $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.16

Para escribir $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.18

Multiplica $x^{- 4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.18.1

Mueve $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.3.18.3

Resta $4$ de $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.3.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.7

Combina $x$ y $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.8

Combina $y$ y $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.10

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.11

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.3.11.1

Cancela el factor común.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.11.2

Divide $3 y$ por $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.13

Resta $3 y$ de $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.14

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.3

Multiplica $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.3.2

Multiplica $\frac{3 y^{2}}{x}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.4

Para escribir $x^{3} \frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.6

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.5.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.6.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.5.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.7

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.7

Multiplica $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.7.1

Multiplica $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.7.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.7.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.7.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 12.5.7.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Paso 13.1.2

Simplifica $y (2 x + 3 y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.1

Reescribe.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Paso 13.1.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Paso 13.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Paso 13.1.2.4

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Paso 13.1.2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Paso 13.1.2.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.5.1

Mueve $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Paso 13.1.2.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Paso 13.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.1

Resta $2 y x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Paso 13.1.3.2

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Paso 13.1.3.3

Combina los términos opuestos en $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.3.1

Resta $2 y x$ de $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Paso 13.1.3.3.2

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Paso 13.1.3.3.3

Resta $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13.1.4

Divide cada término en $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{4}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.1

Divide cada término en $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Paso 13.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Paso 13.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Paso 13.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.3.1

Divide $0$ por $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 14.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 14.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Paso 16

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Paso 16.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Paso 16.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{3}}$ al numerador.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Paso 16.3.2

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Paso 16.3.3

Factoriza $x$ de $x y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Paso 16.3.4

Cancela el factor común.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Paso 16.3.5

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Paso 16.4

Combina $\frac{- 1}{x^{2}}$ y $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Paso 16.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$