Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Paso 9.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Paso 9.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{0^{2}}$ .

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Paso 9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Paso 9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.2.1

Simplifica $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Paso 9.3.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Paso 9.3.2.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$C = 1$

Paso 10

Sustituye $1$ por $C$ en $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$