Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} - 2 x - y) d x + (2 y - x + 3 y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 x - y]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.2.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.2.3

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 - 1$

Paso 1.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Paso 1.4.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y - x + 3 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x + 3 y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - x + 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Paso 2.4

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 + 0$

Paso 2.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 1 = - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} - 2 x - y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 x - y$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int - y d x$

Paso 5.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int - y d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Paso 5.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Paso 5.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Paso 5.8

Simplifica.

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} - x^{2} - y x + g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.2.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.2.3

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 - x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.5.1.2

Resta $x$ de $0$ .

$- x + \frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - x = 2 y - x + 3 y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - x + 3 y^{2} + x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 y - x + 3 y^{2} + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 y + 3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 y + 3 y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y + 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y + 3 y^{2} d y$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int 2 y d y + \int 3 y^{2} d y$

Paso 10.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int y d y + \int 3 y^{2} d y$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 y^{2} d y$

Paso 10.6

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 \int y^{2} d y$

Paso 10.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.9.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.9.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.9.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.9.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.9.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 10.9.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.9.5.1

Cancela el factor común.

$g (y) = y^{2} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 10.9.5.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = y^{2} + 1 y^{3} + C$

Paso 10.9.6

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + y^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} - x^{2} - y x + y^{2} + y^{3} + C$