Cálculo Ejemplos

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $21 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $21 x^{2} y^{4}$ con respecto a $y$ es $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $21$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 8 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 8 x^{3} y$ con respecto a $y$ es $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $28 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{3} y^{3}$ con respecto a $x$ es $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $28$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Paso 5.2

Dado que $21 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $21 y^{4}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

Paso 5.4

Dado que $- 8 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $21$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 5.7.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.2.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Paso 5.7.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

Paso 5.7.4

Combina $- 8$ y $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

Paso 5.7.5

Combina $y$ y $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

Paso 5.7.6

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 5.7.6.1

Factoriza $4$ de $y (- 8 x^{4})$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

Paso 5.7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

Paso 5.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Paso 5.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

Paso 5.7.6.2.4

Divide $y (- 2 x^{4})$ por $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $7 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7 y^{4} x^{3}$ con respecto a $y$ es $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.3.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- 2 x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y (- 2 x^{4})$ con respecto a $y$ es $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $2 x^{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

Paso 9.1.2

Resta $28 x^{3} y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- 2 x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

Paso 9.1.3.2

Suma $28 x^{3} y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

Paso 9.1.3.3

Resta $28 x^{3} y^{3}$ de $28 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Paso 12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$