Cálculo Ejemplos

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

Paso 1

Suma $3 y d x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x d y = 3 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Combina $3$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Multiplica ambos lados por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

Paso 5.5.4

Resuelve $y$

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Paso 5.5.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ .

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Paso 5.5.4.2.1

Reescribe $e^{C} {| x |}^{3}$ como ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ .

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Paso 5.5.4.2.1.1

Factoriza ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

Paso 5.5.4.2.1.2

Reordena $e^{C}$ y ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

Paso 5.5.4.2.1.3

Agrega paréntesis.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

Paso 5.5.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Paso 5.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.