Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $x y + y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Paso 1.1.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Paso 1.1.4

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x + x y$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Paso 1.2.5

Multiplica $x$ por $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x + 1}{x}$ por $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $1 + y$ de $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$