Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 7 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 7 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $6$ por $x$ y de $19$ por $y$ en $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Resta $6$ de $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Paso 4.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Paso 4.2.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $C$ .

$C = 19$

Paso 5

Sustituye $19$ por $C$ en $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $19$ por $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Paso 5.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

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Paso 5.2.1

Reordena $\ln (| 7 - x |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Paso 5.2.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$