Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(1 + x^{2}) y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Paso 1.6

Suma $0$ y $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.8

Reordena $1$ y $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.9

Elimina los paréntesis.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.10

Mueve $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5.4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Reescribe $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ como $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.4.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Divide cada término en $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ por $1 + x^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$