Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Paso 2.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Paso 6.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Paso 6.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Paso 6.7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Paso 6.8

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Paso 6.9

Reescribe $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ como $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 2 x e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.3.2

Divide $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ por $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$