Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Paso 6.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Paso 6.3.2

Multiplica $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Paso 6.4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Paso 6.5

Reescribe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ como $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2

Divide $- \cos (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$