Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 6.2

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

Paso 6.5.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

Paso 6.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 6.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 6.8

Simplifica.

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 6.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Paso 6.10

Simplifica.

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Paso 6.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

Paso 6.10.2

Multiplica $- - e^{x^{2}}$ .

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Paso 6.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

Paso 6.10.2.2

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 7.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$