Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81)$ , $y (\ln (3)) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Entonces $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{4 t} - 81$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{4 t} - 81$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 81]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 t} - 81$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 4 t$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 t$ .

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.3.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 t}$ .

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 81]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 81$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 81$ con respecto a $t$ es $0$ .

$4 e^{4 t} + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $4 e^{4 t}$ y $0$ .

$4 e^{4 t}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Combina $\sin (u_{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.6

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{4 t} - 81$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 81) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\ln (3)$ por $t$ y de $0$ por $y$ en $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ .

$0 = - \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$ .

$- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Simplifica $4 \ln (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$- \cos (e^{\ln (3^{4})} - 81) + K = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- \cos (3^{4} - 81) + K = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- \cos (81 - 81) + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Resta $81$ de $81$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Paso 4.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = 0$

Paso 4.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $K$ en $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + 1$