Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.1.2.5

Divide $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Paso 7

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Paso 8

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Paso 8.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Paso 8.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Paso 8.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 8.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 8.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 8.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Paso 8.3.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Paso 9

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $C$ en $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $C$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$