Cálculo Ejemplos

$\frac{d E}{d t} = 30 - 10 t$ , $E (2) = 72$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d E = (30 - 10 t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d E = \int 30 - 10 t d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$E + C_{1} = \int 30 - 10 t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$E + C_{1} = \int 30 d t + \int - 10 t d t$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} + \int - 10 t d t$

Paso 2.3.3

Dado que $- 10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 10$ fuera de la integral.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 \int t d t$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$E + C_{1} = 30 t - 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 10}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 5}{1} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$E + C_{1} = 30 t - 5 t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$E + C_{1} = - 5 t^{2} + 30 t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $t$ y de $72$ por $E$ en $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ .

$72 = - 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$ .

$- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$

Paso 4.2

Simplifica $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$- 20 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $30$ por $2$ .

$- 20 + 60 + K = 72$

Paso 4.2.2

Suma $- 20$ y $60$ .

$40 + K = 72$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resta $40$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 72 - 40$

Paso 4.3.2

Resta $40$ de $72$ .

$K = 32$

Paso 5

Sustituye $32$ por $K$ en $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $32$ por $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + 32$