Cálculo Ejemplos

$(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{4} - x + y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} - x + y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{4}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 1$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Paso 1.6.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- x$ por $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{4} - x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{4} - x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x^{4} - x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $- x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.4.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Paso 8.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{y}{x} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y}{x}$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.5.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x^{4} - x + y)}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} - - x - y}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 12.1.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + 1 x - y}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + x - y}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $y - x^{4} + x - y$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x + 0}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- x^{4} + x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1.5.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{4} + x$ .

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Paso 12.1.1.5.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x^{1}}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.1.4

Factoriza $x$ de $x (- x^{3}) + x \cdot 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2

Reescribe $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1^{3})}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = - x$ y $b = 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5

Simplifica.

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Paso 12.1.1.5.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 12.1.1.5.1.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.5.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 12.1.1.5.2.1

Factoriza $x$ de $x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.1.5.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Paso 12.1.1.6

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Paso 12.1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d g}{d x} x + (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1.8.1

Expande $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.8.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.8.2.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 12.1.1.8.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.8.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.2.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.3

Combina los términos opuestos en $- x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1$ .

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Paso 12.1.1.8.3.1

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + 0 + x + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.3.2

Suma $- x^{3} - x$ y $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + x + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.3.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 0 + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.1.8.3.4

Suma $- x^{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1}{x} = 0$

Paso 12.1.2

Establece el numerador igual a cero.

$\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1 = 0$

Paso 12.1.3

Resuelve la ecuación en $\frac{d g}{d x}$ .

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Paso 12.1.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.3.1.1

Suma $x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} x + 1 = x^{3}$

Paso 12.1.3.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$

Paso 12.1.3.2

Divide cada término en $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ por $x$ y simplifica.

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Paso 12.1.3.2.1

Divide cada término en $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ por $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 12.1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 12.1.3.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.3.2.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + \frac{- 1}{x}$

Paso 12.1.3.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{2} - \frac{1}{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 13.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 13.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - (\ln (| x |) + C)$

Paso 13.7

Simplifica.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Paso 15

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{x^{3}}{3} - \ln (| x |) + C$