Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + 3 x^{2} v^{- 1} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 3 x^{2} \frac{1}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.1.2

Multiplica $3 x^{2} \frac{1}{v}$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x^{2} \frac{3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.1.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x^{2} \cdot 3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.2

Simplifica $4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 1 \cdot 2}$

Paso 6.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 2}$

Paso 6.1.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.2.3

Multiplica $4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$ .

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Paso 6.1.1.2.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = x^{2} \frac{4}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{x^{2} \cdot 4}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.3

Resta $\frac{3 x^{2}}{v}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$

Paso 6.1.1.4

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.4.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ como $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{\frac{3 x^{2}}{v}}{1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.4

Divide $\frac{3 x^{2}}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}$

Paso 6.1.1.5

Multiplica ambos lados por $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6

Simplifica.

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Paso 6.1.1.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.6.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.6.2.1

Simplifica $(- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.3.1

Factoriza $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

Paso 6.1.1.6.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

Paso 6.1.1.6.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 x^{2} v$

Paso 6.1.1.6.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1.6.2.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 v x^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.4.2

Reordena $- 4 x^{2}$ y $3 v x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v x^{2} - 4 x^{2}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 v x^{2} - 4 x^{2}$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 v x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) - 4 x^{2}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v - 4)$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 v - 4}$ .

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} (x^{2} (3 v - 4))$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $3 v - 4$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $3 v - 4$ de $x^{2} (3 v - 4)$ .

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

Paso 6.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = x^{2}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 v - 4} d v = x^{2} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 v - 4} d v = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u = 3 v - 4$ . Entonces $d u = 3 d v$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u = 3 v - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $3 v - 4$ .

$\frac{d}{d v} [3 v - 4]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 v - 4$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $3 v$ con respecto a $v$ es $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 4]$

Paso 6.2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [- 4]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $v$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 v - 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 6.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 6.3

Resuelve $v$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |)) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| 3 v - 4 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Paso 6.3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

Paso 6.3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$

Paso 6.3.3

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 3 v - 4 |)} = e^{x^{3} + 3 C}$

Paso 6.3.4

Reescribe $\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{3} + 3 C} = | 3 v - 4 |$

Paso 6.3.5

Resuelve $v$

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Paso 6.3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$ .

$| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$

Paso 6.3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 v - 4 = \pm e^{x^{3} + 3 C}$

Paso 6.3.5.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$

Paso 6.3.5.4

Divide cada término en $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.5.4.1

Divide cada término en $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ por $3$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 6.3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 6.3.5.4.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 6.3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C} + 4}{3}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + C} + 4}{3}$

Paso 6.4.2

Reescribe $e^{x^{3} + C}$ como $e^{x^{3}} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{x^{3}} e^{C} + 4}{3}$

Paso 6.4.3

Reordena $e^{x^{3}}$ y $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{x^{3}} + 4}{3}$

Paso 6.4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$