Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 24$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 24$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Paso 2.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Paso 2.3.9.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Paso 2.3.9.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Paso 2.3.9.2

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $- 6$ por $y$ en $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2

Simplifica $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 12$ por $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $27$ de $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Paso 4.2.2.2

Resta $108$ de $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 54$ y $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $30$ a ambos lados de la ecuación.

$K = - 6 + 30$

Paso 4.3.2

Suma $- 6$ y $30$ .

$K = 24$

Paso 5

Sustituye $24$ por $K$ en $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $24$ por $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$