Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

Paso 1.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

Paso 1.2.3.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Paso 1.2.4

Combina $6$ y $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

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Paso 1.2.5.1

Combina $\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ y $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

Paso 1.2.5.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

Paso 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

Paso 1.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

Paso 1.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

Paso 1.2.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Paso 1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Paso 1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

Paso 1.2.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Paso 1.2.7.2

Divide $6$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ .

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Multiplica $3 x \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.1

Combina $3$ y $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2

Combina $x$ y $\frac{3 K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.7

Combina $3$ y $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8

Combina $\frac{3 K}{2}$ y $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.9.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Suma $\frac{3 x K}{2}$ y $\frac{3 K x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Mueve $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $\frac{3 K x}{2}$ y $\frac{3 K x}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4

Simplifica $9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve $9 x^{2}$ .

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

Paso 3.4.2

Reordena $3 K x$ y $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = K + K x + 9 x^{2}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $16$ por $y$ en $y = K + K x + 9 x^{2}$ .

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ .

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Paso 6.2

Simplifica $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $K$ por $1$ .

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$K + K + 9 = 16$

Paso 6.2.2

Suma $K$ y $K$ .

$2 K + 9 = 16$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$2 K = 16 - 9$

Paso 6.3.2

Resta $9$ de $16$ .

$2 K = 7$

Paso 6.4

Divide cada término en $2 K = 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $2 K = 7$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{7}{2}$ por $K$ en $y = K + K x + 9 x^{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{7}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$