Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

Paso 2.3.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Paso 2.3.4

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Paso 2.3.5.3

Reordena los términos.

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $0$ por $s$ en $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$0 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $0$ .

$0 + \sin (0) + K = 0$

Paso 4.2.1.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + 0 + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 0$

Paso 5

Sustituye $0$ por $K$ en $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + 0$

Paso 5.2

Suma $\frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$ y $0$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$

Paso 5.3

Combina $\frac{5}{2}$ y $t^{2}$ .

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t)$