Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 4 x^{2}$

Paso 1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 4 x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 x d x}$

Paso 2.2

Integra $- 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x^{2}} y = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Paso 7.2

Sea $u_{1} = - x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.2.1

Deja $u_{1} = - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Diferencia $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 7.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x)$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x$

Paso 7.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Paso 7.3.2

Combina $\sqrt{- u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Paso 7.3.3

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1})$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e^{- x^{2}} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.7

Simplifica.

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Paso 7.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.7.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 7.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.7.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = e^{u_{1}}$ y $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9.5

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.9.6

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Paso 7.9.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Paso 7.9.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.11.2

Multiplica $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.12

Dado que $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.13

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Paso 7.14

Simplifica.

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Paso 7.14.1

Reescribe $- 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ como $- 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2

Simplifica.

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Paso 7.14.2.1

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2.2

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.14.2.6

Combina $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Paso 7.14.2.7

Suma $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ y $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \cdot 0 + C$

Paso 7.14.2.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$e^{- x^{2}} y = 0 + C$

Paso 7.14.2.9

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- x^{2}} y = C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = C$ por $e^{- x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$