Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 5$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 5 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 5 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 5 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 5 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $e^{- 5 x}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Paso 7.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Paso 7.3

Dado que $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Paso 7.5

Sea $u = - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Paso 7.6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 7.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Paso 7.8

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 7.9.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Paso 7.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Reescribe $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Paso 7.11.2

Simplifica.

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Paso 7.11.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Paso 7.11.2.2

Combina $e^{- 5 x}$ y $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Paso 7.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Paso 7.13

Combina $e^{- 5 x}$ y $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Paso 7.14

Reordena los términos.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $e^{- 5 x}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Paso 8.1.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Paso 8.1.3

Combina $e^{- 5 x}$ y $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ por $e^{- 5 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ por $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 5 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ por $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{- 5 x}$ .

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Paso 8.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.5

Multiplica $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ por $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.6

Cancela el factor común de $e^{- 5 x}$ .

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Paso 8.2.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 8.2.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Paso 10.2

Simplifica $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

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Paso 10.2.1

Divide $0$ por $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Paso 10.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Paso 10.2.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Paso 10.2.2.3

Divide $C$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Paso 10.2.3

Resta $\frac{1}{25}$ de $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Suma $\frac{1}{25}$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Paso 10.3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Paso 10.3.3

Combina $3$ y $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Paso 10.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Paso 10.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.5.1

Multiplica $3$ por $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Paso 10.3.5.2

Suma $75$ y $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Paso 11

Sustituye $\frac{76}{25}$ por $C$ en $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $\frac{76}{25}$ por $C$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Paso 11.2.2

Combinar.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $76$ por $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$