Cálculo Ejemplos

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ por $e^{t}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1

Niega el exponente de $e^{t}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.1.2

Simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{t})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Paso 2.3.1.2.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $e^{- t}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = - t$ . Entonces $d u = - d t$ , de modo que $- d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = - t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Reordena los factores en $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $- y e^{- t} + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (- e^{- t} + K) = - 1$ por $- e^{- t} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (- e^{- t} + K) = - 1$ por $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- e^{- t} + K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Paso 3.3.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Paso 3.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Paso 3.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Paso 3.3.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.3.5.1

Reescribe $- (e^{- t} - K)$ como $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Paso 3.3.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Paso 3.3.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Paso 3.3.4.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{e^{- t} - K}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $\frac{1}{4}$ por $y$ en $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Paso 6.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1 + K, 4$

Paso 6.3.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.3.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.3.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 6.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 6.3.6

El factor para $1 + K$ es $1 + K$ en sí mismo.

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ ocurre $1$ vez.

Paso 6.3.7

El MCM de $1 + K$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$1 + K$

Paso 6.3.8

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$4 (1 + K)$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ por $4 (1 + K)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ por $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.2.3

Cancela el factor común de $1 + K$ .

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Paso 6.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Paso 6.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$4 = 1 + K$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Paso 6.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 - 1$

Paso 6.5.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$K = 3$

Paso 7

Sustituye $3$ por $K$ en $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $3$ por $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$