Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + 2 y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.6

Reordena los términos.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Paso 3.1.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - x^{2} - K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$