Cálculo Ejemplos

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1.1.2

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Paso 1.1.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $- 2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ por $- y^{3} - 2$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ por $- y^{3} - 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- y^{3} - 2$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Paso 1.1.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

Paso 1.1.4.3.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

Paso 1.1.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

Paso 1.1.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.5.1

Reescribe $- (y^{3} + 2)$ como $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

Paso 1.1.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Paso 1.1.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Paso 1.1.4.3.5.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y^{3} + 2$ .

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{3} + 2$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$