Cálculo Ejemplos

$x (\frac{d y}{d x}) + y = x y^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Paso 5.5

Simplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 5.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.2.1

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 5.6.2.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 5.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.14

Mueve $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 5.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Paso 5.16

Combina $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Paso 5.17

Reescribe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Paso 5.18

Multiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Paso 5.19

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Paso 5.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 5.21

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 5.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 5.23

Suma $2$ y $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Factoriza $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5

Multiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.2.1.5.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.5.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.6

Simplifica $- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.10

Combina $v$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.2.1.11

Mueve $2$ a la izquierda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Paso 7.1.1.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Paso 7.1.1.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.3.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.4

Multiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.3.4.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Paso 7.1.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Paso 7.1.1.3.4.4

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

Paso 7.1.1.3.4.5

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

Paso 7.1.1.3.5

Simplifica $- 2 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 7.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 7.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.7.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.3.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.7.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.7.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

Paso 7.7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

Paso 7.7.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.5.1

Reescribe $- 2 (- x^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 7.7.5.2

Simplifica.

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Paso 7.7.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

Paso 7.7.5.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

Paso 7.8

Resuelve $v$

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Paso 7.8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 7.8.1.1

Resta $\frac{2}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

Paso 7.8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

Paso 7.8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

Paso 7.8.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.8.2.1

Suma $\frac{2}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

Paso 7.8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

Paso 7.8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4

Simplifica.

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Paso 7.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.4.2.1

Simplifica $(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.8.4.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$v = 2 x + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.3

Reordena $2 x$ y $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + 2 x$

Paso 8

Sustituye $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$