Cálculo Ejemplos

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x) d x + e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)]$

Paso 1.2

Como $2 e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ con respecto a $y$ es $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x^{2} - y + x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \frac{d}{d y} [x^{2} - y + x] + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.7

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + 0) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.8.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \cdot - 1 + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.8.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- 1 \cdot y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.8.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \cdot 1)$

Paso 1.4.10

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.4.10.1

Multiplica $x^{2} - y + x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + x^{2} - y + x)$

Paso 1.4.10.2

Resta $y$ de $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (x^{2} - 2 y + x)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} (- 2 y) + 2 e^{2 x} x$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} - 2 y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x^{2} - 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y] + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.3

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + 0) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} \cdot 2$

Paso 2.5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(x^{2} - 2 y) e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 \cdot ((x^{2} - 2 y) e^{2 x})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (2 x^{2} + 2 (- 2 y)) e^{2 x}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 (- 2 y) e^{2 x}$

Paso 2.6.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Paso 2.6.4

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$

Paso 2.6.5

Reordena los factores en $2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $e^{2 x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int x^{2} - 2 y d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = e^{2 x} (\int x^{2} d y + \int - 2 y d y)$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C + \int - 2 y d y)$

Paso 5.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 \int y d y)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})]$ .

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Paso 8.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = x^{2} y - y^{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} y - y^{2}] + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x} (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.5

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 8.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$e^{2 x} (2 \cdot y x + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.10

Suma $2 y x$ y $0$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.12

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.3.13

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} y - y^{2}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} (2 y x) + (2 (x^{2} y) + 2 (- y^{2})) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y) e^{2 x} + 2 (- y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 8.5.4

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Paso 9.1.2

Simplifica $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

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Paso 9.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y e^{2 x} (- y) + 2 y e^{2 x} x$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.2.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 (y \cdot y) e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

Paso 9.1.2.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y^{2} e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

Paso 9.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$

Paso 9.1.2.4

Reordena los factores en $2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x}$

Paso 9.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.3.1

Resta $2 x y e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

Paso 9.1.3.2

Resta $2 x^{2} y e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

Paso 9.1.3.3

Suma $2 y^{2} e^{2 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4

Combina los términos opuestos en $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ .

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Paso 9.1.3.4.1

Reordena los factores en los términos $2 y x e^{2 x}$ y $- 2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} x y - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.2

Resta $2 e^{2 x} x y$ de $2 e^{2 x} x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.3

Suma $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.4

Reordena los factores en los términos $2 y x^{2} e^{2 x}$ y $- 2 x^{2} y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.5

Resta $2 e^{2 x} x^{2} y$ de $2 e^{2 x} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.6

Suma $- 2 y^{2} e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.3.4.7

Suma $- 2 y^{2} e^{2 x}$ y $2 y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) + e^{2 x} (- y^{2}) + C$

Paso 12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$