Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.4.2

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Paso 1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Paso 1.5.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 7.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Paso 7.4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 7.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.7

Simplifica.

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Paso 7.7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 7.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 7.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 7.9

Reescribe $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 7.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- \frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Paso 8.3.2.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $x \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.3

Combina $x \frac{1}{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.4

Para escribir $\frac{2 x - 1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5

Para escribir $\frac{C}{e^{2 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 8.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 e^{2 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{2 x - 1}{4}$ por $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 8.3.6.2

Multiplica $\frac{C}{e^{2 x}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Paso 8.3.6.3

Reordena los factores de $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Paso 8.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Paso 8.3.8.2

Reescribe $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Paso 8.3.8.3

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$