Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 7 x + 9$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 4$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{4 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{4 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 9$

Paso 2.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 7 \int x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.4.2

Combina $x$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.6

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.6.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.6.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 6.6.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.6.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.7

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.9

Simplifica.

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Paso 6.9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.9.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.10

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int 9 e^{4 x} d x$

Paso 6.11

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{4 x} d x$

Paso 6.12

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.12.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.12.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 6.12.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.12.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 6.13

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 6.14

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 6.15

Combina $\frac{1}{4}$ y $9$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.16

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 6.17

Simplifica.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{4 x} + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $e^{4 x}$ y $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot x e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{4} (x e^{4 x})$ .

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Paso 7.2.3.2.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{7 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.1.2

Combina $\frac{x}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y = \frac{7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{7 \frac{x e^{4 x}}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.3

Combina $7$ y $\frac{x e^{4 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.4

Multiplica $7 (- \frac{e^{4 x}}{16})$ .

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Paso 7.2.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} - 7 \frac{e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.4.2

Combina $- 7$ y $\frac{e^{4 x}}{16}$ .

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + \frac{- 7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.2.6

Combina $\frac{9}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.3

Para escribir $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Multiplica $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.5.2.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4$ .

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Paso 7.2.3.5.2.1.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $- 7 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.1.2

Factoriza $e^{4 x}$ de $9 e^{4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.1.3

Factoriza $e^{4 x}$ de $e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 36)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.1.3

Suma $- 7$ y $36$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.5.2.2

Mueve $29$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.1

Para escribir $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{16} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.4.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}$ .

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Paso 7.2.3.6.4.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $7 x e^{4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.1.2

Factoriza $e^{4 x}$ de $29 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.1.3

Factoriza $e^{4 x}$ de $e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4 + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.4.2

Multiplica $4$ por $7$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.5

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.6

Combina $C$ y $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29) + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x) + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.3

Mueve $29$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 \cdot e^{4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.6.8.4

Mueve $16$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}$ por $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$

Paso 7.2.3.9

Reordena los factores en $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$ .

$y = \frac{28 x e^{4 x} + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$