Cálculo Ejemplos

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.6

Aplica la regla de la constante.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.7.2

Simplifica.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.2.8

Reordena los términos.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Paso 3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Paso 3.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

Paso 3.2.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

Paso 3.3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 y^{2}}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Paso 3.3.3

Mueve $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

Paso 3.3.4

Mueve $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Paso 3.3.5

Reordena $- 3 y^{2}$ y $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = - 14$ y $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4

Simplifica.

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Paso 3.6.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.4.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $4$ de $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Factoriza $4$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 24 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.3

Factoriza $4$ de $- 24 K$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.4

Factoriza $4$ de $24 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.5

Factoriza $4$ de $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.6

Factoriza $4$ de $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.5.7

Factoriza $4$ de $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ como $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ .

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Paso 3.6.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.6.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.1.8

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

Paso 3.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$