Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $r^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $r^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{- 2}$ con respecto a $r$ es $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.2.3

Reescribe $- r^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{θ}$ con respecto a $θ$ es $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$r, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$r$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ por $r$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ por $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{r}$ al numerador.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Reordena los factores en $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $r$ de $r \ln (| θ |) + C r$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $r$ de $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $r$ de $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ por $\ln (| θ |) + C$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ por $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (| θ |) + C$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $θ$ y de $2$ por $r$ en $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Paso 5

Resuelve $C$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Paso 5.2

Factoriza cada término.

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Paso 5.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Paso 5.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Paso 5.2.3

Suma $0$ y $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$C, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$C$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{C} = 2$ por $C$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{C} = 2$ por $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $C$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{C}$ al numerador.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 2 C$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $2 C = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $2 C = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{1}{2}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $C$ en $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Para escribir $\ln (| θ |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Combina $\ln (| θ |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Paso 6.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

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Paso 6.2.4.1.1

Reordena $\ln (| θ |)$ y $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Paso 6.2.4.1.2

Simplifica $2 \cdot \ln (| θ |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Paso 6.2.4.2

Elimina el valor absoluto en ${| θ |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ por $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$