Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - x e^{y} = 2 e^{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $x e^{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{y} + x e^{y}$

Paso 1.2

Factoriza $e^{y}$ de $2 e^{y} + x e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $2 e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + x e^{y}$

Paso 1.2.2

Factoriza $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$

Paso 1.2.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (2 + x)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (2 + x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.8

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{- y})$ ; para ello, mueve $- y$ fuera del logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 3.4

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ como $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$