Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 2.3.4

Como la derivada de $- \cot (t)$ es $\csc^{2} (t)$ , la integral de $\csc^{2} (t)$ es $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{2}$ por $t$ y de $- 7$ por $v$ en $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Paso 4.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Paso 4.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Paso 4.2.1.1.4

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Paso 4.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Paso 4.2.1.2

Suma $π^{2}$ y $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Paso 4.3

Resta $π^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 7 - π^{2}$

Paso 5

Sustituye $- 7 - π^{2}$ por $K$ en $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 7 - π^{2}$ por $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$