Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Paso 1.3

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 1.4.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 1.5

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 1.6

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Paso 1.7

Factoriza $y$ de $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.4

Combinar.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.2.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 3.4

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 3.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 3.4.5

Suma $2$ y $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.2.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.2.4

Suma $- 1$ y $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.2.5

Divide $4$ por $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$