Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $t$ de $t + t y$ .

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Paso 1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $t$ de $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

Paso 1.1.4

Factoriza $t$ de $t \cdot 1 + t (y)$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Paso 1.1.5

Multiplica $t$ por $1 + y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + y$ de $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 t$ .

$2 t$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + t^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.3

Para escribir $\ln (| 1 + y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $\ln (| 1 + y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ .

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Paso 3.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| 1 + y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Paso 3.6.1.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

Paso 3.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.6.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.6.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Paso 3.9.2

Multiplica ambos lados por ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.3.1

Simplifica $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1

Cancela el factor común de ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.3.1.2

Reordena $1$ y $y$ .

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$