Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d s} = 3 r^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{1}{r^{2}} (3 r^{2})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3 \frac{1}{r^{2}} r^{2}$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $r^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{r^{2}} d r = 3 d s$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int 3 d s$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $r^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int 3 d s$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int 3 d s$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int 3 d s$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{- 2}$ con respecto a $r$ es $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int 3 d s$

Paso 2.2.3

Reescribe $- r^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int 3 d s$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = 3 s + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{r} = 3 s + K$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$r, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$r$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{r} = 3 s + K$ por $r$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{r} = 3 s + K$ por $r$ .

$- \frac{1}{r} r = 3 s r + K r$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{r}$ al numerador.

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 3 s r + K r$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 s r + K r = - 1$ .

$3 s r + K r = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $r$ de $3 s r + K r$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $r$ de $3 s r$ .

$r (3 s) + K r = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $r$ de $K r$ .

$r (3 s) + r K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $r$ de $r (3 s) + r K$ .

$r (3 s + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $r (3 s + K) = - 1$ por $3 s + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $r (3 s + K) = - 1$ por $3 s + K$ .

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3 s + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 1}{3 s + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1}{3 s + K}$