Cálculo Ejemplos

$\frac{d M}{d t} + \frac{M}{37.5} = 4$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d M}{d t}$

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5} = 4$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $37.5$ de $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5 (1)} = 4$

Paso 1.1.1.3

Separa las fracciones.

$\frac{d M}{d t} + \frac{1}{37.5} \cdot \frac{M}{1} = 4$

Paso 1.1.1.4

Divide $1$ por $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} \frac{M}{1} = 4$

Paso 1.1.1.5

Divide $M$ por $1$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} M = 4$

Paso 1.1.2

Resta $0.02\overline{6} M$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d M}{d t} = 4 - 0.02\overline{6} M$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M}$ .

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $4 - 0.02\overline{6} M$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Entonces $d u = - 0.02\overline{6} d M$ , de modo que $\frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = d M$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Obtén $\frac{d u}{d M}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$\frac{d}{d M} [4 - 0.02\overline{6} M]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 0.02\overline{6} M$ con respecto a $M$ es $\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

$\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $M$ , la derivada de $4$ con respecto a $M$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 0.02\overline{6}$ es constante con respecto a $M$ , la derivada de $- 0.02\overline{6} M$ con respecto a $M$ es $- 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$ .

$0 - 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ es $n M^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 0.02\overline{6} \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 0.02\overline{6}$ por $1$ .

$0 - 0.02\overline{6}$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $0.02\overline{6}$ de $0$ .

$- 0.02\overline{6}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.02\overline{6}}) d u = \int d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Paso 2.2.2.3

Mueve $0.02\overline{6}$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{0.02\overline{6}} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $37.5$ .

$- 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $M$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ por $- 37.5$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ por $- 37.5$ .

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 37.5$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.3

Factoriza $37.5$ de $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5 (1)} + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.5

Divide $1$ por $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.6

Divide $t$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} t) + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.7

Multiplica $0.02\overline{6}$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t + \frac{C}{- 37.5}$

Paso 3.1.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{C}{37.5}$

Paso 3.1.3.1.9

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5}$

Paso 3.1.3.1.10

Factoriza $37.5$ de $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5 (1)}$

Paso 3.1.3.1.11

Separa las fracciones.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.12

Divide $1$ por $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.13

Divide $C$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} C)$

Paso 3.1.3.1.14

Multiplica $0.02\overline{6}$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$

Paso 3.2

Para resolver $M$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)} = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} = | 4 - 0.02\overline{6} M |$

Paso 3.4

Resuelve $M$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ .

$| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Paso 3.4.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ por $- 0.02\overline{6}$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ por $- 0.02\overline{6}$ .

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.02\overline{6}$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $M$ por $1$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}}$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Factoriza $0.02\overline{6}$ de $0.02\overline{6}$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6} (1)} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$M = \frac{1}{0.02\overline{6}} \cdot \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Divide $1$ por $0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ por $1$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $- 4$ por $- 0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + 150$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t + C}) + 150$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 0.02\overline{6} t + C}$ como $e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}) + 150$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 0.02\overline{6} t}$ y $e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{C} e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$M = 37.5 (C e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$