Cálculo Ejemplos

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Paso 2

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x v$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Paso 2.4

Sustituye $\frac{d v}{d x}$ por $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Paso 2.5

Reordena $v$ y $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Paso 2.6

Multiplica $v$ por $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x v = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Paso 7

Divide cada término en $x v = C_{1}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x v = C_{1}$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Paso 9

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Paso 10

Integra ambos lados.

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Paso 10.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Paso 10.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Paso 10.3

Integra el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Dado que $C_{1}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{1}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 10.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 10.3.3

Simplifica.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 10.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$