Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

Paso 1.1.2

Resta $2 (- y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación con coeficientes aislados.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 \cdot - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

Paso 2.2

Integra $- 2 \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

Paso 3.5

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 7.10

Reescribe $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12

Simplifica.

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Paso 7.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12.1.3

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.3.2

Cancela el factor común.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 x}}{4}$ al numerador.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Paso 7.12.4.2

Cancela el factor común.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Paso 7.12.4.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$