Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y - 5}$ .

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y - 5$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 5$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 5$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.3

Para escribir $\ln (| y - 5 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $\ln (| y - 5 |)$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $\ln (| y - 5 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1

Simplifica $\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

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Paso 3.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1.1

Simplifica $5 \ln (| y - 5 |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Paso 3.6.1.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

Paso 3.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ al mover $\frac{1}{5}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Paso 3.6.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Paso 3.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 3.6.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.6.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Paso 3.6.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Paso 3.9.2

Multiplica ambos lados por ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.3.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 3.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3.9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3.9.4

Resuelve $y$

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Paso 3.9.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Paso 3.9.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$