Cálculo Ejemplos

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ por $1 + \sin^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ por $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $1 + \sin^{2} (x)$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $e^{- 2 y}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- 2 y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{2 y}$ por $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.3

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Entonces $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.1.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3.1.1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Suma $0$ y $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.4.2

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.3.1.1.4.3

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 2.3.1.1.4.4

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.4.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Paso 3.5

Expande $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.3

Suma $0$ y $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\ln (C) = 2$

Paso 6.4

Para resolver $C$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Paso 6.5

Reescribe $\ln (C) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Paso 6.6

Reescribe la ecuación como $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Paso 7

Sustituye $e^{2}$ por $C$ en $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $e^{2}$ por $C$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Paso 7.2

Reescribe $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.4

Simplifica $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$