Cálculo Ejemplos

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Paso 1

Resta $x^{2} \sin (x) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Paso 4.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Paso 4.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Paso 4.3.5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Reescribe $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ como $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Multiplica $- (- x \cos (x))$ .

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Paso 5.2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Paso 5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Paso 5.4

Factoriza $2$ de $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Paso 5.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Paso 5.4.3

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Paso 5.4.4

Factoriza $2$ de $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Paso 5.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$