Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 6.2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Paso 6.4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Paso 6.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Paso 6.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Paso 6.7

Reordena los términos.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Paso 7

Divide cada término en $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7.3.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$