Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $4 x - x^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Paso 2.3.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Paso 2.3.1.1.1.4

Multiplica $x$ por $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Paso 2.3.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.5

Cancela el factor común de $4 - x$ .

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Paso 2.3.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.5.2

Divide $1 - 2 x$ por $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.6

Reordena $1$ y $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.1.2

Divide $A (4 - x)$ por $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.5

Cancela el factor común de $4 - x$ .

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Paso 2.3.1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.3.1.1.7.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Paso 2.3.1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1.8.1

Mueve $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Paso 2.3.1.1.8.2

Reordena $B$ y $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Paso 2.3.1.1.8.3

Mueve $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Paso 2.3.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = - 1 A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A$

Paso 2.3.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Paso 2.3.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 4 A$ .

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Paso 2.3.1.3.1.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Paso 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Paso 2.3.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 2 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.2.2.1

Reescribe $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3

Resuelve $B$ en $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Paso 2.3.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1.3.3.2.1

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.3.3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.5.2

Suma $- 8$ y $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Paso 2.3.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{4 - x}$ por $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Paso 2.3.1.5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{7}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{7}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Paso 2.3.7

Sea $u = 4 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.7.1

Deja $u = 4 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.10.2

Multiplica $\frac{7}{4}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Paso 2.3.12

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$