Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $\sqrt{y}$ de $\sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$ .

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Paso 1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + 4 x \sqrt{y}$

Paso 1.1.2

Factoriza $\sqrt{y}$ de $4 x \sqrt{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$

Paso 1.1.3

Factoriza $\sqrt{y}$ de $\sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (1 + 4 x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\sqrt{y}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 4 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 4 x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 4 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x^{2} \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Multiplica $\frac{x}{2} x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.1

Combina $\frac{x}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x \cdot x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1} x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1 + 2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.5.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.6.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.7

Combina $\frac{K}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.8.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.9.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = x^{4} + \frac{x^{3} + x^{2} K + x^{3} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $x^{3}$ y $x^{3}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + x^{2} K + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Suma $x^{2} K$ y $K x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Reordena $x^{2}$ y $K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + K x^{2} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Suma $K x^{2}$ y $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.5

Suma $x K$ y $K x$ .

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Paso 3.3.2.1.5.1

Reordena $x$ y $K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + K x + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Suma $K x$ y $K x$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.6.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{3} + 2 K x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.6.1.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.1.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.1.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.2.2

Divide $x^{2} (x + K)$ por $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} (x + K) + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x^{4} + x^{2} x + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.6.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.1.6.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} x^{1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{4} + x^{2 + 1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.3.2.1.6.5.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 K x = 2 \cdot x \cdot K$

Paso 3.3.2.1.6.5.2

Reescribe el polinomio.

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot K + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6.5.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Paso 3.4

Simplifica $x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $x^{2}$ y $K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Paso 3.4.2

Reordena $x$ y $K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4}$

Paso 3.4.3

Mueve $x^{3}$ .

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{3}$

Paso 3.4.4

Mueve $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + K x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.5

Reordena $x^{4}$ y $\frac{{(K + x)}^{2}}{4}$ .

$y = \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{4} + K x^{2} + x^{3}$