Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Paso 1

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 4

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Paso 5.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + \cos^{2} (V) - V$ .

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Paso 5.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Paso 5.1.1.1.2.2

Suma $0$ y $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (V)$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Paso 5.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 5.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ a $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Como la derivada de $\tan (V)$ es $\sec^{2} (V)$ , la integral de $\sec^{2} (V)$ es $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 5.3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior de la tangente.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Paso 6

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Resuelve $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Reordena los factores en $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$