Cálculo Ejemplos

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Suma $\frac{w}{25}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación con coeficientes aislados.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{1}{25}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{25}$ y $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{25}$ y $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ y $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Paso 3.4

Multiplica $e^{\frac{t}{25}}$ por $e^{\frac{- 1}{25} t}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.3.2

Combina $t$ y $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.4

Suma $- \frac{t}{25}$ y $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Paso 3.5

Simplifica $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Paso 3.6

Reordena los factores en $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $w$ por $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$