Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $t$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 t^{2} - 1$ . Entonces $d u = 6 t d t$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 t^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$6 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $6 t$ y $0$ .

$6 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Paso 2.3.3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $12$ y $6$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $14$ por $s$ en $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$2^{3} + K = 14$

Paso 4.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + K = 14$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 14 - 8$

Paso 4.3.2

Resta $8$ de $14$ .

$K = 6$

Paso 5

Sustituye $6$ por $K$ en $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $6$ por $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{4}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.4

Aplica la regla del producto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $27$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.9

Aplica la regla del producto a $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.11

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.12

Multiplica $9$ por $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.14

Multiplica $54$ por $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.15

Multiplica $3$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.17

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Paso 5.2.2.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $81$ y $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.1.2

Combina $\frac{81}{2}$ y $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 108 t^{6}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $54 t^{4}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 12 t^{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.4.2

Cancela el factor común.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.4.3

Reescribe la expresión.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

Paso 5.3

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.4

Combina $6$ y $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

Paso 5.6.2

Suma $1$ y $12$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$