Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 1$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1

Resta $2$ de $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Paso 4.2.2.2

Resta $5$ de $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Paso 4.3

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 10$

Paso 5

Sustituye $10$ por $K$ en $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $10$ por $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$